Carl Friedrich Gauss

Gauss 于1777年4月30日出生在不伦瑞克公国的不伦瑞克（今属德国），受洗名为 Johann Friedrich Carl，后来他去掉第一个名字，并调换了后两个名字的顺序。他是父亲 Gebhard Dietrich Gauss 与第二任妻子 Dorothea Benze 唯一的孩子；父亲做过砌砖工和园丁，并为当地一家保险基金记账，母亲是石匠之女，几乎不识字。⁠[1][2][2][2][2]

他很早就显示出计算天赋：不到三岁时在旁观父亲核算工钱时指出了一处错误。进入小学后，他立刻算出1到100的整数之和，办法是把它们看成50对、每对和为101，令老师 Büttner 和助教 Martin Bartels 十分惊讶；此后他与 Bartels 一起在课余自学代数和微积分初步。⁠[2][1][2]

1788年，父亲同意让 Gauss 进入文理中学，课后读书而不再纺纱补贴家用。他在中学里学习古典学科和数学进步很快，大多靠自学；当地 Collegium Carolinum 的教授 E. A. W. Zimmermann 为他在宫廷中引荐。⁠[2][2][2]

1791年初，不伦瑞克公爵 Carl Wilhelm Ferdinand 得知 Gauss 的才能，成为他的资助人，承担他1792年至1795年在 Collegium Carolinum、1795年至1798年在哥廷根大学的学习费用，并在1806年去世前一直给予资助。⁠[2][2]

在 Collegium Carolinum 期间，他通过大量计算独立发现了行星距离的 Bode 定律、有理指数的二项式定理和算术—几何平均，并在1795年3月重新发现了二次互反律；他还提出了素数定理的猜想，该定理直到1896年才由 J. Hadamard 证明。⁠[2][2][2]

1795年10月，Gauss 进入哥廷根大学，当时仍未决定以数学还是语文学为业，较受古典学者 G. Heyne 吸引，对数学教师 A. G. Kästner 评价不高。他在学生中唯一有记载的朋友是匈牙利人 Farkas Bolyai，两人此后通信多年。⁠[2][2][1]

同年，他构想出取使残差平方和最小的参数值来拟合观测数据的方法，即最小二乘法的最初形式；据其日记，他在1798年6月17日完成了这一方法的推导。⁠[2][2][2]

1796年3月30日，Gauss 发现正十七边形可以用直尺和圆规作出，这是两千年来该问题的首次进展；到同年6月1日，他进一步得出奇数边正多边形可尺规作图的条件：边数为费马素数或若干不同费马素数之积。这一发现使他决定以数学为业，也是他“数学日记”的第一条记录。⁠[2][2][3]

1798年，Gauss 未取得文凭便离开哥廷根，回到不伦瑞克独自研究。1799年，他以对代数基本定理（每个非常数多项式都有根）的第一个严格证明为博士论文，在 J. F. Pfaff 名义上的指导下，缺席获得 Helmstedt 大学博士学位。公爵继续发放津贴，使他无需谋职即可专心研究。⁠[1][2][2][2][1]

1800年8月，Gauss 发表一套计算复活节日期的数值算法，把教会历法的繁复推算化为几条简单公式，这也是他第一篇天文学方面的出版物。最初版本对个别年份会给出错误日期，他在1807年作了修正。⁠[3][2][2]

《Disquisitiones Arithmeticae》（《算术研究》）于1798年秋定稿、1799年开印，因原印刷所出售，到1801年9月才印完。全书七部分，除讨论正多边形作图的第七部分外都属数论。书中引入整数关于模的同余概念，证明了二次互反律，发展了二次型的复合理论，并完整分析了分圆方程，被视为数论成为独立系统分支的起点。⁠[2][1][2][2][2]

1801年1月1日，意大利天文学家 G. Piazzi 发现小天体谷神星，但只观测到约9度的轨道就因其靠近太阳而失去踪迹。同年9月，Gauss 采用以椭圆为基础的轨道理论和基于最小二乘的数值方法计算其轨道，预测位置与他人差别很大；12月7日，F. X. von Zach 在几乎正是 Gauss 预测的位置重新找到谷神星。Gauss 当时没有公开方法，这一成果与《算术研究》一起使他闻名。⁠[1][2][2][1][2]

1802年，Gauss 当选圣彼得堡帝国艺术与科学院（Imperial Academy of Arts and Sciences）通讯院士，同年收到圣彼得堡的职位邀请；1804年当选伦敦皇家学会会士。为谋求更稳定的职位，他决定以天文学为职业，开始为出任哥廷根天文台台长做准备。⁠[2][2][2][2]

1805年10月9日，Gauss 与同样出身的不伦瑞克女子 Johanna Osthoff 结婚。次年，资助人不伦瑞克公爵在率普鲁士军队对抗拿破仑时受伤身亡。⁠[1][2][2]

1807年，汉诺威政府任命 Gauss 为哥廷根大学天文学教授和天文台台长，他于当年年底到任。新天文台1803年在城墙外动工，资金最初由英国国王乔治三世提供，因拿破仑战争中断，至1816年才建成；在此之前，他在旧城墙一座废弃塔楼里的临时天文台工作。此后他在哥廷根工作直至去世，很少离开这座城市。⁠[3][1][4][4][2][2]

1809年，Gauss 出版天文学专著《Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium》，系统阐述按圆锥曲线计算天体运动、由三次观测确定彗星或行星轨道的方法，第三部分（第172—189条）详述最小二乘法。德文稿1806年已完成，因普鲁士战败后局势动荡，出版商要求译成拉丁文才肯出版，所以推迟到1809年。⁠[1][2][2][2][2]

书中他以逆概率方法推出观测误差的概率分布，即后来所称的高斯分布（正态分布）曲线，并由此导出最小二乘法、加权方法和法方程的消元解法。法国数学家 Legendre 已在1805年独立发表最小二乘法，但不涉及概率与观测精度；两人之间随之发生优先权争议，Legendre 一方言辞激烈。⁠[3][2][2][2][2][2]

同年，妻子 Johanna 在生下第三个孩子后不久去世，孩子也未能存活。不到一年后，Gauss 与亡妻的好友 Minna Waldeck 结婚。⁠[2][2]

1810年，Gauss 成为柏林皇家科学院正式院士。柏林方面多次邀他前往任职，Alexander von Humboldt 也长期希望他到柏林主持科学院工作，但他最终留在哥廷根。⁠[2][2][1]

到哥廷根后的头几年，Gauss 发表了一系列由小行星 Pallas 受木星摄动问题引出的论文：1813年《Disquisitiones generales circa seriem infinitam》是对级数的早期严格处理，并引入超几何函数；1816年的论文分别讨论数值积分和统计估计量的效率；1813年关于椭球体引力的论文是位势理论的早期重要工作。⁠[2][2][2][2][2]

1816年，新天文台建成，但到1821年才配齐设备。同年，Gauss 带着十岁的儿子和一名学生到巴伐利亚旅行五周，结识 Reichenbach、Fraunhofer 等光学仪器制造者，并从他们那里购买了最好的仪器。1817年他结束理论天文学研究，但一直坚持位置观测、计算和发表结果，直到最后一次患病。⁠[2][2][2][2]

他早在学生时代就探讨否定平行公设的后果，在哥廷根早期逐渐形成非欧几何的观念，但只在1816年的一篇书评中公开暗示，私下则担心被人嘲笑。1831年 Farkas Bolyai 把其子 János Bolyai 的相关著作寄给他，他表示称赞此作就等于称赞自己；十年后他得知 Lobachevsky 的工作，安排其当选哥廷根科学院通讯院士，但始终没有公开支持这些新思想。⁠[2][2][1][1][2]

1818年，Gauss 受托对汉诺威王国进行大地测量，以与丹麦已有的测量网连接。项目1820年才获正式批准，但他从1818年起每年夏天亲自在野外测量、冬天整理数据，在交通、天气、经费和人手都很困难的情况下坚持了八年；1825年后他只负责监督和计算，汉诺威三角测量至1847年完成，期间他独自处理了超过一百万个数字。⁠[1][2][2][2]

测量的实际精度未达到他的预期：基线布设草率、三角网不理想，成果只够用于粗略的地理和军事地图。不过这些工作推动了他在保角映射方面的研究，后来德国测地学者据此发展出 Gauss–Krüger 投影（1912年），成为考虑地球椭球形状的地形网格基础。⁠[1][2][2]

为在白天观测远处测点，Gauss 想到利用反射的阳光，推导出光学原理后设计了日光回照器（heliotrope），第一台于1821年制成。它把反射镜与小望远镜结合，在15英里外亮度相当于一等星，此后成为大规模三角测量的标准设备，直到1840年后被改进型号以及20世纪的航空测量取代。⁠[2][2][2][2]

1821年2月15日，Gauss 向哥廷根皇家科学院提交《Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae》第一部分，给出不依赖特定误差分布的最小二乘法新表述：只要观测方差有限，最小二乘估计在线性无偏估计中均方误差最小。1823年的第二部分及1828年的补编完善了这一理论，相关结果后来被称为 Gauss–Markov 定理。⁠[2][2][1][2]

1822年，Gauss 应哥本哈根科学院的征奖，写成关于把一个曲面映射到另一个曲面、使两者在最小部分上相似（即保角映射）的论文，获得一等奖，论文于1825年发表。⁠[2][1]

1828年，Gauss 发表源自三十年测地学思考的《Disquisitiones generales circa superficies curvas》，提出高斯曲率等概念，并证明“绝妙定理”（theorema egregium）：曲面经等距变形后，对应点的高斯曲率不变。这篇论文开启了此后一个多世纪的微分几何研究。⁠[1][1][2]

同年，Alexander von Humboldt 说服他参加柏林的自然科学家大会，这是他一生唯一一次参加科学会议。他在 Humboldt 家住了三周，并结识了年轻的实验物理学家 Wilhelm Weber；这次访问成为他转向地磁研究的契机。1829年，他发表最小约束原理。⁠[2][2][2][2]

1831年9月13日，Gauss 的第二任妻子在久病后去世；两天后，Wilhelm Weber 到哥廷根接任物理学教授，Gauss 此前支持了这一任命。两人开始密切合作，Gauss 主理论、Weber 主实验。⁠[2][1][2]

1832年12月15日，Gauss 向哥廷根皇家科学院提交《Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata》，首次系统地用长度、质量、时间三种基本量的“绝对单位”来度量非力学量地磁强度。论文致谢了 Weber 的帮助，但没有把他列为合著者。⁠[2][2][2]

受 Faraday 1831年发现感应电流的启发，Gauss 与 Weber 研究电现象，并于1833年得出后来所称的 Kirchhoff 定律。Weber 架设了一条约1英里长、跨越房屋和两座塔楼的双线，连接天文台与市区的物理实验室；1833年两人开始用这条线路传送电报，先是单词，后来是整句。⁠[2][2][4][2][2]

Gauss 意识到电报的军事和经济价值，曾试图推动政府和工业大规模采用，1835年至1836年还拟订过在莱比锡—德累斯顿铁路上使用的计划，但铁路方面要求埋设地下电缆而作罢。Steinheil（1837年）和 Morse（1838年）等人后来独立发展出更实用的方法，两人的先行工作逐渐被遗忘；1845年线路被雷击毁时已停用。⁠[2][2][2][2]

同年，按 Gauss 的建议，哥廷根大学建成一座不含磁性金属的地磁观测台。⁠[2]

Gauss 与 Weber 组织了联合各地观测台同步观测地磁的 Magnetischer Verein（哥廷根磁学协会），其《Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins》于1836年至1841年出版六卷，收录 Gauss 论文15篇、Weber 论文23篇，以及两人合作的《Atlas des Erdmagnetismus》（1840年）。1837年，两人合作发明双线磁强计。⁠[2][2][2]

1839年的《Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus》以观测数据为基础，用球函数无穷级数表示地表任一点的磁势，并用全球观测网的数据算出前24个系数；1840年的论文则是把位势理论作为数学课题的第一次系统处理。此后他结束了磁学研究。⁠[2][2][2][2]

1837年11月，汉诺威新国王 Ernst August 废除1833年宪法，并要求公务人员向他个人宣誓效忠。包括 Weber 和 Gauss 的女婿、东方学家 G. H. A. von Ewald 在内的七名哥廷根教授联名抗议，随即被解职，史称“哥廷根七君子”（Göttingen Seven）。Gauss 没有采取公开行动，私下的努力也未见效。Weber 后来到莱比锡任职，两人的合作就此中断；1848年 Weber 复职时，Gauss 已不再从事物理研究。⁠[2][2][2][2][2][2]

1838年，Gauss 获英国皇家学会颁发的 Copley 奖章。他一生入选德国、俄国、英国、西班牙和法国等国的科学院，获得约75项外国荣誉；由于他不喜欢远行，奖章等实物多由同事或学生带到哥廷根。⁠[2][3][3]

1841年，Gauss 发表光学著作《Dioptrische Untersuchungen》，分析光线通过透镜组的路径，证明任何透镜系统都等效于一个适当选取的单透镜。这是他最后一项重要的科学贡献；此后他的研究强度逐渐下降。⁠[2][2][2]

1842年，Gauss 获普鲁士王国最高荣誉 Pour le mérite 勋章。⁠[2]

1845年至1851年，Gauss 为哥廷根大学的寡妇基金重新编制精算表，使其建立在可靠的精算基础上。这项工作使他积累了金融实务经验，他此后投资私营公司债券，留下的遗产约相当于其年薪的200倍。晚年他还学会流利阅读和说俄语，并几次出任哥廷根大学学院院长。⁠[1][2][1][2][2][2]

1849年7月16日，在获得博士学位整整50年之际，哥廷根为 Gauss 举行庆典，他获得不伦瑞克和哥廷根两地的荣誉市民称号。数学界只有 Jacobi 和 Dirichlet 到场；Gauss 在庆典上发表了代数基本定理的第四个证明，是对1799年博士论文证明的变体。⁠[2][2][1][2]

1851年，74岁的 Gauss 进行了最后一次天文观测，同年批准了 Bernhard Riemann 关于复分析基础的博士论文。1854年，他还在研究改进型 Foucault 摆；同年6月，他听取了 Riemann 以他所选题目“几何基础”所作的就职试讲。几天后，他最后一次离开哥廷根，去观看从卡塞尔修来的铁路工程。⁠[2][1][2][2][2]

Gauss 于1855年2月23日清晨在哥廷根睡梦中去世，享年将近78岁。他病重卧床期间仍坚持阅读、通信和证券交易。⁠[1][3][2]

Gauss 的收入主要来自天文学职位；据统计，他在哥廷根所开课程70%为天文学、15%为数学、9%为测地学、6%为物理学。他自1835年起每年讲授最小二乘法课程直至去世。学生中有 Schumacher、Encke、Möbius 等天文学者，以及 Riemann、Dedekind、Moritz Cantor 等数学家。⁠[3][2][3]

他一生只发表了约一半有记录的创新想法，文风简练，读者不多；其余成果散见于笔记、通信和提交官方机构的报告，多年后才公开。已知存世的往来信件超过7000封。同时代人称他为“数学王子”（princeps），常将他与阿基米德和牛顿并列。⁠[2][2][2][2]

他的最小二乘法在生前已成为全球天文学和测地学的基本工具；19世纪90年代 Karl Pearson 和 G. Udny Yule 发展相关理论时，发现他为最小二乘法设计的数学工具可直接用于相关分析。⁠[2][2]

1962年5月17日，14人在哥廷根成立 Gauss-Gesellschaft（Gauss Society），宗旨是保存对 Gauss 的纪念并研究其生平与著作，自1964年起出版年刊《Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft》。1977年不伦瑞克和哥廷根举行其200周年诞辰纪念活动；2005年被定为“Gauss 年”；2009年，他的半身像被安放在雷根斯堡附近的 Walhalla 纪念堂。他任职多年的哥廷根旧天文台现称“历史天文台”，已不再用于天文观测。⁠[3][3][3][3][3][3][3]