Carl Friedrich Gauss

Gauss 於1777年4月30日出生在不倫瑞克公國的不倫瑞克（今屬德國），受洗名為 Johann Friedrich Carl，後來他去掉第一個名字，並調換了後兩個名字的順序。他是父親 Gebhard Dietrich Gauss 與第二任妻子 Dorothea Benze 唯一的孩子；父親做過砌磚工和園丁，併為當地一家保險基金記賬，母親是石匠之女，幾乎不識字。⁠[1][2][2][2][2]

他很早就顯示出計算天賦：不到三歲時在旁觀父親核算工錢時指出了一處錯誤。進入小學後，他立刻算出1到100的整數之和，辦法是把它們看成50對、每對和為101，令老師 Büttner 和助教 Martin Bartels 十分驚訝；此後他與 Bartels 一起在課餘自學代數和微積分初步。⁠[2][1][2]

1788年，父親同意讓 Gauss 進入文理中學，課後讀書而不再紡紗補貼家用。他在中學裡學習古典學科和數學進步很快，大多靠自學；當地 Collegium Carolinum 的教授 E. A. W. Zimmermann 為他在宮廷中引薦。⁠[2][2][2]

1791年初，不倫瑞克公爵 Carl Wilhelm Ferdinand 得知 Gauss 的才能，成為他的資助人，承擔他1792年至1795年在 Collegium Carolinum、1795年至1798年在哥廷根大學的學習費用，並在1806年去世前一直給予資助。⁠[2][2]

在 Collegium Carolinum 期間，他通過大量計算獨立發現了行星距離的 Bode 定律、有理指數的二項式定理和算術—幾何平均，並在1795年3月重新發現了二次互反律；他還提出了素數定理的猜想，該定理直到1896年才由 J. Hadamard 證明。⁠[2][2][2]

1795年10月，Gauss 進入哥廷根大學，當時仍未決定以數學還是語文學為業，較受古典學者 G. Heyne 吸引，對數學教師 A. G. Kästner 評價不高。他在學生中唯一有記載的朋友是匈牙利人 Farkas Bolyai，兩人此後通信多年。⁠[2][2][1]

同年，他構想出取使殘差平方和最小的參數值來擬合觀測數據的方法，即最小二乘法的最初形式；據其日記，他在1798年6月17日完成了這一方法的推導。⁠[2][2][2]

1796年3月30日，Gauss 發現正十七邊形可以用直尺和圓規作出，這是兩千年來該問題的首次進展；到同年6月1日，他進一步得出奇數邊正多邊形可尺規作圖的條件：邊數為費馬素數或若干不同費馬素數之積。這一發現使他決定以數學為業，也是他“數學日記”的第一條記錄。⁠[2][2][3]

1798年，Gauss 未取得文憑便離開哥廷根，回到不倫瑞克獨自研究。1799年，他以對代數基本定理（每個非常數多項式都有根）的第一個嚴格證明為博士論文，在 J. F. Pfaff 名義上的指導下，缺席獲得 Helmstedt 大學博士學位。公爵繼續發放津貼，使他無需謀職即可專心研究。⁠[1][2][2][2][1]

1800年8月，Gauss 發表一套計算復活節日期的數值算法，把教會曆法的繁複推算化為幾條簡單公式，這也是他第一篇天文學方面的出版物。最初版本對個別年份會給出錯誤日期，他在1807年作了修正。⁠[3][2][2]

《Disquisitiones Arithmeticae》（《算術研究》）於1798年秋定稿、1799年開印，因原印刷所出售，到1801年9月才印完。全書七部分，除討論正多邊形作圖的第七部分外都屬數論。書中引入整數關於模的同餘概念，證明了二次互反律，發展了二次型的複合理論，並完整分析了分圓方程，被視為數論成為獨立系統分支的起點。⁠[2][1][2][2][2]

1801年1月1日，意大利天文學家 G. Piazzi 發現小天體穀神星，但只觀測到約9度的軌道就因其靠近太陽而失去蹤跡。同年9月，Gauss 採用以橢圓為基礎的軌道理論和基於最小二乘的數值方法計算其軌道，預測位置與他人差別很大；12月7日，F. X. von Zach 在幾乎正是 Gauss 預測的位置重新找到穀神星。Gauss 當時沒有公開方法，這一成果與《算術研究》一起使他聞名。⁠[1][2][2][1][2]

1802年，Gauss 當選聖彼得堡帝國藝術與科學院（Imperial Academy of Arts and Sciences）通訊院士，同年收到聖彼得堡的職位邀請；1804年當選倫敦皇家學會會士。為謀求更穩定的職位，他決定以天文學為職業，開始為出任哥廷根天文臺臺長做準備。⁠[2][2][2][2]

1805年10月9日，Gauss 與同樣出身的不倫瑞克女子 Johanna Osthoff 結婚。次年，資助人不倫瑞克公爵在率普魯士軍隊對抗拿破崙時受傷身亡。⁠[1][2][2]

1807年，漢諾威政府任命 Gauss 為哥廷根大學天文學教授和天文臺臺長，他於當年年底到任。新天文臺1803年在城牆外動工，資金最初由英國國王喬治三世提供，因拿破崙戰爭中斷，至1816年才建成；在此之前，他在舊城牆一座廢棄塔樓裡的臨時天文臺工作。此後他在哥廷根工作直至去世，很少離開這座城市。⁠[3][1][4][4][2][2]

1809年，Gauss 出版天文學專著《Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium》，系統闡述按圓錐曲線計算天體運動、由三次觀測確定彗星或行星軌道的方法，第三部分（第172—189條）詳述最小二乘法。德文稿1806年已完成，因普魯士戰敗後局勢動盪，出版商要求譯成拉丁文才肯出版，所以推遲到1809年。⁠[1][2][2][2][2]

書中他以逆概率方法推出觀測誤差的概率分佈，即後來所稱的高斯分佈（正態分佈）曲線，並由此導出最小二乘法、加權方法和法方程的消元解法。法國數學家 Legendre 已在1805年獨立發表最小二乘法，但不涉及概率與觀測精度；兩人之間隨之發生優先權爭議，Legendre 一方言辭激烈。⁠[3][2][2][2][2][2]

同年，妻子 Johanna 在生下第三個孩子後不久去世，孩子也未能存活。不到一年後，Gauss 與亡妻的好友 Minna Waldeck 結婚。⁠[2][2]

1810年，Gauss 成為柏林皇家科學院正式院士。柏林方面多次邀他前往任職，Alexander von Humboldt 也長期希望他到柏林主持科學院工作，但他最終留在哥廷根。⁠[2][2][1]

到哥廷根後的頭幾年，Gauss 發表了一系列由小行星 Pallas 受木星攝動問題引出的論文：1813年《Disquisitiones generales circa seriem infinitam》是對級數的早期嚴格處理，並引入超幾何函數；1816年的論文分別討論數值積分和統計估計量的效率；1813年關於橢球體引力的論文是位勢理論的早期重要工作。⁠[2][2][2][2][2]

1816年，新天文臺建成，但到1821年才配齊設備。同年，Gauss 帶著十歲的兒子和一名學生到巴伐利亞旅行五週，結識 Reichenbach、Fraunhofer 等光學儀器製造者，並從他們那裡購買了最好的儀器。1817年他結束理論天文學研究，但一直堅持位置觀測、計算和發表結果，直到最後一次患病。⁠[2][2][2][2]

他早在學生時代就探討否定平行公設的後果，在哥廷根早期逐漸形成非歐幾何的觀念，但只在1816年的一篇書評中公開暗示，私下則擔心被人嘲笑。1831年 Farkas Bolyai 把其子 János Bolyai 的相關著作寄給他，他表示稱讚此作就等於稱讚自己；十年後他得知 Lobachevsky 的工作，安排其當選哥廷根科學院通訊院士，但始終沒有公開支持這些新思想。⁠[2][2][1][1][2]

1818年，Gauss 受託對漢諾威王國進行大地測量，以與丹麥已有的測量網連接。項目1820年才獲正式批准，但他從1818年起每年夏天親自在野外測量、冬天整理數據，在交通、天氣、經費和人手都很困難的情況下堅持了八年；1825年後他只負責監督和計算，漢諾威三角測量至1847年完成，期間他獨自處理了超過一百萬個數字。⁠[1][2][2][2]

測量的實際精度未達到他的預期：基線佈設草率、三角網不理想，成果只夠用於粗略的地理和軍事地圖。不過這些工作推動了他在保角映射方面的研究，後來德國測地學者據此發展出 Gauss–Krüger 投影（1912年），成為考慮地球橢球形狀的地形網格基礎。⁠[1][2][2]

為在白天觀測遠處測點，Gauss 想到利用反射的陽光，推導出光學原理後設計了日光回照器（heliotrope），第一臺於1821年製成。它把反射鏡與小望遠鏡結合，在15英里外亮度相當於一等星，此後成為大規模三角測量的標準設備，直到1840年後被改進型號以及20世紀的航空測量取代。⁠[2][2][2][2]

1821年2月15日，Gauss 向哥廷根皇家科學院提交《Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae》第一部分，給出不依賴特定誤差分佈的最小二乘法新表述：只要觀測方差有限，最小二乘估計在線性無偏估計中均方誤差最小。1823年的第二部分及1828年的補編完善了這一理論，相關結果後來被稱為 Gauss–Markov 定理。⁠[2][2][1][2]

1822年，Gauss 應哥本哈根科學院的徵獎，寫成關於把一個曲面映射到另一個曲面、使兩者在最小部分上相似（即保角映射）的論文，獲得一等獎，論文於1825年發表。⁠[2][1]

1828年，Gauss 發表源自三十年測地學思考的《Disquisitiones generales circa superficies curvas》，提出高斯曲率等概念，並證明“絕妙定理”（theorema egregium）：曲面經等距變形後，對應點的高斯曲率不變。這篇論文開啟了此後一個多世紀的微分幾何研究。⁠[1][1][2]

同年，Alexander von Humboldt 說服他參加柏林的自然科學家大會，這是他一生唯一一次參加科學會議。他在 Humboldt 家住了三週，並結識了年輕的實驗物理學家 Wilhelm Weber；這次訪問成為他轉向地磁研究的契機。1829年，他發表最小約束原理。⁠[2][2][2][2]

1831年9月13日，Gauss 的第二任妻子在久病後去世；兩天後，Wilhelm Weber 到哥廷根接任物理學教授，Gauss 此前支持了這一任命。兩人開始密切合作，Gauss 主理論、Weber 主實驗。⁠[2][1][2]

1832年12月15日，Gauss 向哥廷根皇家科學院提交《Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata》，首次系統地用長度、質量、時間三種基本量的“絕對單位”來度量非力學量地磁強度。論文致謝了 Weber 的幫助，但沒有把他列為合著者。⁠[2][2][2]

受 Faraday 1831年發現感應電流的啟發，Gauss 與 Weber 研究電現象，並於1833年得出後來所稱的 Kirchhoff 定律。Weber 架設了一條約1英里長、跨越房屋和兩座塔樓的雙線，連接天文臺與市區的物理實驗室；1833年兩人開始用這條線路傳送電報，先是單詞，後來是整句。⁠[2][2][4][2][2]

Gauss 意識到電報的軍事和經濟價值，曾試圖推動政府和工業大規模採用，1835年至1836年還擬訂過在萊比錫—德累斯頓鐵路上使用的計劃，但鐵路方面要求埋設地下電纜而作罷。Steinheil（1837年）和 Morse（1838年）等人後來獨立發展出更實用的方法，兩人的先行工作逐漸被遺忘；1845年線路被雷擊毀時已停用。⁠[2][2][2][2]

同年，按 Gauss 的建議，哥廷根大學建成一座不含磁性金屬的地磁觀測臺。⁠[2]

Gauss 與 Weber 組織了聯合各地觀測臺同步觀測地磁的 Magnetischer Verein（哥廷根磁學協會），其《Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins》於1836年至1841年出版六卷，收錄 Gauss 論文15篇、Weber 論文23篇，以及兩人合作的《Atlas des Erdmagnetismus》（1840年）。1837年，兩人合作發明雙線磁強計。⁠[2][2][2]

1839年的《Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus》以觀測數據為基礎，用球函數無窮級數表示地表任一點的磁勢，並用全球觀測網的數據算出前24個係數；1840年的論文則是把位勢理論作為數學課題的第一次系統處理。此後他結束了磁學研究。⁠[2][2][2][2]

1837年11月，漢諾威新國王 Ernst August 廢除1833年憲法，並要求公務人員向他個人宣誓效忠。包括 Weber 和 Gauss 的女婿、東方學家 G. H. A. von Ewald 在內的七名哥廷根教授聯名抗議，隨即被解職，史稱“哥廷根七君子”（Göttingen Seven）。Gauss 沒有采取公開行動，私下的努力也未見效。Weber 後來到萊比錫任職，兩人的合作就此中斷；1848年 Weber 復職時，Gauss 已不再從事物理研究。⁠[2][2][2][2][2][2]

1838年，Gauss 獲英國皇家學會頒發的 Copley 獎章。他一生入選德國、俄國、英國、西班牙和法國等國的科學院，獲得約75項外國榮譽；由於他不喜歡遠行，獎章等實物多由同事或學生帶到哥廷根。⁠[2][3][3]

1841年，Gauss 發表光學著作《Dioptrische Untersuchungen》，分析光線通過透鏡組的路徑，證明任何透鏡系統都等效於一個適當選取的單透鏡。這是他最後一項重要的科學貢獻；此後他的研究強度逐漸下降。⁠[2][2][2]

1842年，Gauss 獲普魯士王國最高榮譽 Pour le mérite 勳章。⁠[2]

1845年至1851年，Gauss 為哥廷根大學的寡婦基金重新編制精算表，使其建立在可靠的精算基礎上。這項工作使他積累了金融實務經驗，他此後投資私營公司債券，留下的遺產約相當於其年薪的200倍。晚年他還學會流利閱讀和說俄語，並幾次出任哥廷根大學學院院長。⁠[1][2][1][2][2][2]

1849年7月16日，在獲得博士學位整整50年之際，哥廷根為 Gauss 舉行慶典，他獲得不倫瑞克和哥廷根兩地的榮譽市民稱號。數學界只有 Jacobi 和 Dirichlet 到場；Gauss 在慶典上發表了代數基本定理的第四個證明，是對1799年博士論文證明的變體。⁠[2][2][1][2]

1851年，74歲的 Gauss 進行了最後一次天文觀測，同年批准了 Bernhard Riemann 關於複分析基礎的博士論文。1854年，他還在研究改進型 Foucault 擺；同年6月，他聽取了 Riemann 以他所選題目“幾何基礎”所作的就職試講。幾天後，他最後一次離開哥廷根，去觀看從卡塞爾修來的鐵路工程。⁠[2][1][2][2][2]

Gauss 於1855年2月23日清晨在哥廷根睡夢中去世，享年將近78歲。他病重臥床期間仍堅持閱讀、通信和證券交易。⁠[1][3][2]

Gauss 的收入主要來自天文學職位；據統計，他在哥廷根所開課程70%為天文學、15%為數學、9%為測地學、6%為物理學。他自1835年起每年講授最小二乘法課程直至去世。學生中有 Schumacher、Encke、Möbius 等天文學者，以及 Riemann、Dedekind、Moritz Cantor 等數學家。⁠[3][2][3]

他一生只發表了約一半有記錄的創新想法，文風簡練，讀者不多；其餘成果散見於筆記、通信和提交官方機構的報告，多年後才公開。已知存世的往來信件超過7000封。同時代人稱他為“數學王子”（princeps），常將他與阿基米德和牛頓並列。⁠[2][2][2][2]

他的最小二乘法在生前已成為全球天文學和測地學的基本工具；19世紀90年代 Karl Pearson 和 G. Udny Yule 發展相關理論時，發現他為最小二乘法設計的數學工具可直接用於相關分析。⁠[2][2]

1962年5月17日，14人在哥廷根成立 Gauss-Gesellschaft（Gauss Society），宗旨是保存對 Gauss 的紀念並研究其生平與著作，自1964年起出版年刊《Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft》。1977年不倫瑞克和哥廷根舉行其200週年誕辰紀念活動；2005年被定為“Gauss 年”；2009年，他的半身像被安放在雷根斯堡附近的 Walhalla 紀念堂。他任職多年的哥廷根舊天文臺現稱“歷史天文臺”，已不再用於天文觀測。⁠[3][3][3][3][3][3][3]